Recommandé, 2020

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Définition Progression géométrique (PG)

Quelle est la progression géométrique (PG):

Il s’agit d’une séquence numérique dans laquelle chaque terme, tiré de la seconde, est le résultat de la multiplication du terme précédent par une constante q, appelée ratio de PG.

Exemple de progression géométrique

La séquence numérique (5, 25, 125, 625 ...) est un PG en croissance, où q = 5. Autrement dit, chaque terme de ce PG multiplié par son rapport ( q = 5) donne le terme suivant.

Formule pour trouver le ratio (q) d'un PG

Dans le croissant PG (2, 6, 18, 54 ...), il existe une constante ( q ) constante mais inconnue. Pour le découvrir, il faut considérer les termes du PG, où: (2 = a1, 6 = a2, 18 = a3, 54 = a4, ... an), en les appliquant dans la formule suivante:

q = a 2 / a 1

Ainsi, pour trouver la raison de ce PG, la formule sera développée comme suit: q = a 2 / a 3 = 6/2 = 3.

Le rapport ( q ) du PG ci-dessus est 3.

Parce que le ratio d'un PG est constant, c'est-à-dire commun à tous les termes, nous pouvons travailler sa formule avec des termes différents, mais en le divisant toujours par son prédécesseur. Rappelons que le rapport d’une PG peut être n’importe quel nombre rationnel, à l’exclusion de zéro (0).

Exemple: q = a 4 / a 3, ce qui, à l’intérieur du PG ci-dessus, donne également q = 3.

Formule pour trouver le terme général PG

Il existe une formule de base pour trouver un terme dans un PG. Dans le cas de PG (2, 6, 18, 54, a n ...), par exemple, n, qui peut être nommé cinquième ou nième terme, ou 5, est toujours inconnu. Pour trouver ce terme ou un autre terme, la formule générale est utilisée:

a n = a m ( q ) nm

Exemple pratique - Formule du terme général de PG développée

On sait que :

a n est un terme inconnu à trouver;

a m est le premier terme de PG (ou tout autre, si le premier terme n'existe pas);

q est le rapport de PG;

Par conséquent, dans PG (2, 6, 18, 54, a n ...) où le cinquième terme (a 5 ) est recherché, la formule sera développée de la manière suivante:

a n = a m ( q ) nm

à 5 = 1 (q) 5-1

à 5 = 2 (3) 4

à 5 = 2, 81

à 5 = 162

Ainsi, on trouve que le cinquième terme (a 5 ) de PG (2, 6, 18, 54, a n ...) est = 162.

Il convient de rappeler qu’il est important de rechercher la raison pour laquelle un groupe PG trouve un terme inconnu. Dans le cas de PG ci-dessus, par exemple, le rapport était déjà appelé 3.

Les classifications de progression géométrique

Progression géométrique en croissant

Pour qu'un PG soit considéré en augmentation, son rapport sera toujours positif et ses termes en augmentation, c'est-à-dire en augmentation dans la séquence numérique.

Exemple: (1, 4, 16, 64 ...), où q = 4

Dans le PG ascendant avec des termes positifs, q > 1 et avec les termes négatifs, 0 < q <1.

Progression décroissante géométrique

Pour qu'un PG soit considéré en diminution, son rapport sera toujours positif et non nul et ses termes décroissent dans la séquence numérique, c'est-à-dire qu'ils diminuent.

Exemples: (200, 100, 50 ...), où q = 1/2

Dans le PG décroissant avec des termes positifs, 0 < q <1 et avec des termes négatifs, q > 1.

Progression géométrique oscillante

Pour qu'un PG soit considéré comme oscillant, son rapport sera toujours négatif ( q <0) et ses termes alterneront entre négatif et positif.

Exemple: (-3, 6, -12, 24, ...), où q = -2

Progression géométrique constante

Pour qu'une PG soit considérée comme constante ou stationnaire, son rapport sera toujours égal à un ( q = 1).

Exemple: (2, 2, 2, 2 ...), où q = 1.

Différence entre progression arithmétique et progression géométrique

Comme PG, BP est également constitué par une séquence numérique. Cependant, les termes d'un PA sont le résultat de la somme de chaque terme avec le rapport ( r ), tandis que les termes d'un PG, tels qu'illustrés ci-dessus, résultent de la multiplication de chaque terme par son rapport ( q ) .

Exemple:

En PA (5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ...), le rapport ( r ) est égal à 2. C'est-à-dire que le premier terme ajouté à r 2 donne le résultat du prochain terme et ainsi de suite.

Dans PG (3, 6, 12, 24, 48, ...), le rapport ( q ) est également égal à 2. Mais dans ce cas, le terme est multiplié par q 2, ce qui donne le terme suivant, etc.

Voir aussi la signification de Progression arithmétique.

Signification pratique d'un PG: où peut-il être appliqué?

Progression géométrique permet d'analyser le déclin ou la croissance de quelque chose. Concrètement, le PG permet d'analyser, par exemple, les variations thermiques, la croissance démographique, entre autres types de vérifications présentes dans notre vie quotidienne.

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