Table de vérité

Quelle est la table de vérité:

La table de vérité ou la table de vérité est un outil mathématique largement utilisé dans le domaine du raisonnement logique. Son but est de vérifier la validité logique d'une proposition composée (argument formé de deux propositions simples ou plus).

Exemples de propositions composées:

John est grand et Maria est petite.
Pedro est grand ou Joana est blonde.
Si Pedro est grand, Joana est rouge.

Chacune des propositions composées ci-dessus est formée de deux propositions simples reliées par les connecteurs en gras. Chaque proposition simple peut être vraie ou fausse, ce qui implique directement la valeur logique de la proposition composée. Si nous adoptons la phrase " John est grand et Mary est faible ", les évaluations possibles de cette déclaration seront:

Si John est grand et que Mary est basse, la phrase "Jean est grand et Mary est basse" est VRAIE.
Si John est grand et que Mary n'est pas basse, la phrase "John est grand et Mary est basse" est FAUX.
Si John n'est pas grand et que Mary est basse, la phrase "John est grand et Mary est basse" est FAUX.
Si John n'est pas grand et que Mary n'est pas basse, la phrase "John est grand et Mary est basse" est FAUX.

La table de vérité schématise ce même raisonnement (voir la rubrique Conjonction ci-dessous) plus directement. De plus, les règles de la table de vérité peuvent être appliquées quel que soit le nombre de propositions contenues dans la phrase .

Comment ça marche?

Commencez par transformer les propositions de la question en symboles utilisés en logique. La liste de symboles universellement utilisée est:

Symbole	Opération Logique	Signification	Exemple
p	.	Proposition 1	p = Jean est grand.
q	.	Proposition 2	q = Marie est faible.
~	Déni	ne pas	Si John est grand, " ~ p " est FALSE.
^	Conjonction	et	p ^ q = Jean est grand et Marie est basse.
v	Disjonction	ou	p v q = Jean est grand ou Marie est basse.
→	Conditionnel	si oui	p → q = Si Jean est grand alors Marie est basse.
(I.e.	Biconditional	si et seulement si	p ↔ q = Jean est grand si et seulement si Marie est faible.

Ensuite, un tableau avec toutes les possibilités d'évaluation d'une proposition composée est affiché, en substituant les affirmations par des symboles. Il convient de préciser que dans les cas où il y a plus de deux propositions, elles peuvent être symbolisées par les lettres r, s, etc.

Enfin, l'opération logique définie par le connectif montré est appliquée. Selon la liste ci-dessus, ces opérations peuvent être: déni, conjonction, disjonction, conditionnel et biconditionnel.

Déni

Le déni est symbolisé par ~. L'opération logique du déni est la plus simple et dispense souvent de l'utilisation de la table de vérité. En suivant le même exemple, si John est grand (p), dire que Jean n'est pas grand (~ p) est FAUX, et vice versa.

Conjonction

La conjonction est symbolisée par ^ . L'exemple "Jean est grand et Marie est basse" sera symbolisé par "p ^ q" et la table de vérité sera:

La conjonction suggère une idée d'accumulation. Par conséquent, si l'une des propositions simples est fausse, il est impossible que la proposition composée soit vraie.

Conclusion : les propositions composites conjonctives (contenant le connectif e ) ne seront vraies que lorsque tous leurs éléments seront vrais.

Exemple:

Paulo, Renato et Tulio sont gentils et Caroline est drôle. - Si Paulo, Renato ou Tulio ne sont pas gentils ou que Carolina n'est pas drôle, la proposition sera FAUX. Il est nécessaire que toutes les informations soient vraies pour que la proposition composée soit VRAIE.

Disjonction

La disjonction est symbolisée par v . En échangeant le connectif de l'exemple ci-dessus, nous aurons "John est grand ou Mary est basse". Dans ce cas, la phrase sera symbolisée par "p v q" et la table de vérité sera:

La disjonction implique une idée d'alternance, il suffit donc que l'une des propositions simples soit vraie pour que le composé soit également.

Conclusion : les propositions composites disjonctives (contenant le ou le connectif) ne seront fausses que lorsque tous leurs éléments seront faux.

Exemple:

Ma mère, mon père ou mon oncle vont me faire un cadeau. - Pour que la déclaration soit VRAIE, il suffit qu'un seul entre la mère, le père ou l'oncle donne le présent. La proposition ne sera FAUX que si aucune d’elles ne la donne.

Conditionnel

Le conditionnel est symbolisé par →. Il est exprimé par les connectives elles - mêmes et ensuite, qui interconnectent les propositions simples dans une relation de cause à effet. L'exemple "Si Paulo est Carioca, alors il est Brésilien" devient "p → q" et la table de vérité sera:

Les conditionnels ont une proposition antécédente et une conséquence conséquente , séparées par le connectif. Dans l'analyse des conditionnels, il est nécessaire d'évaluer les cas dans lesquels la proposition peut être possible, en considérant la relation d'implication entre antécédent et conséquent.

Conclusion : les propositions composées conditionnelles (contenant les connecteurs si et seulement) ne seront fausses que si la première proposition est vraie et la seconde proposition fausse.

Exemple:

Si Paulo est un Carioca, alors il est brésilien. - Pour que cette proposition soit considérée comme VRAIE, il est nécessaire d’évaluer les cas dans lesquels elle est POSSIBLE. D'après la table de vérité ci-dessus, nous avons:

Paulo est brésilien / Paulo est brésilien = POSSIBLE
Paulo est carioca / Paulo n'est pas brésilien = IMPOSSIBLE
Paulo n'est pas de Carioca / Paulo est brésilien = POSSIBLE
Paulo n'est pas un Carioca / Paulo n'est pas un Brésilien = POSSIBLE

Biconditional

Le biconditional est symbolisé par . Il est lu à travers les connecteurs si et seulement si, ils relient les propositions simples à une relation d'équivalence. L'exemple "John est heureux si et seulement si Maria sourit." devient "p ↔ q" et la table de vérité sera:

Les biconditional suggèrent une idée d'interdépendance. Comme son nom l'indique, le biconditionnel est composé de deux conditions: une qui part de p vers q (p → q) et une autre dans la direction opposée (q → p).

Conclusion : Les propositions composées biconditionnelles (contenant les connecteurs si et seulement si ) ne seront vraies que lorsque toutes les propositions sont vraies, ou que toutes les propositions sont fausses.

Exemple:

John est heureux si et seulement si Maria sourit. - Cela signifie que:

Si John est heureux, Maria sourit et si Maria sourit, John est heureux = VRAI
Si João n'est pas heureux, Maria ne sourit pas et si Maria ne sourit pas, João n'est pas heureuse = VRAI
Si Jean est heureux, Marie ne sourit pas = FAUX
Si John n'est pas heureux, Maria sourit = FAUX

Aperçu général

Il est courant que les spécialistes de la table de vérité mémorisent les conclusions de chacune des opérations logiques. Pour gagner du temps sur la résolution de problèmes, gardez toujours à l'esprit que:

Propositions conjonctives: elles ne seront vraies que lorsque tous les éléments seront vrais.
Propositions disjonctives: elles ne seront fausses que lorsque tous les éléments seront faux.
Propositions conditionnelles: elles ne seront fausses que lorsque la première proposition est vraie et la seconde fausse.
Propositions biconcentrales: elles ne seront vraies que lorsque tous les éléments sont vrais ou tous les éléments sont faux.